欧拉函数取值个数的渐近公式

欧拉函数取值个数的渐近公式

An asymptotic formula for the number of totients

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具体内容

稿件研究欧拉函数φ在不超过x时取到的不同值的个数V(x)，作者声称给出了V(x)的显式渐近等价式，其系数是若干由有限算术数据定义的函数的一致极限；并证明对任意固定c>0有V(cx)/V(x)→c，回应了Erdős与Hall提出的问题。该结果若成立，将刻画欧拉函数像集的整体密度规律，属于数论中乘法函数值分布方向的研究。

• 作者声称给出V(x)的显式渐近等价式，系数为有限算术数据函数的一致极限
• 证明对每个固定c>0，V(cx)/V(x)趋于c
• 该结论回应了Erdős与Hall提出的问题

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英文原始摘要

Let $`V(x)`$ count the distinct values of Euler's totient function up to x. We give an explicit asymptotic equivalent for $`V(x)`$. Its coefficient is a uniform limit of functions defined from finite arithmetic data. We also prove that $`V(cx)/V(x)\to c`$ as $`x\to\infty`$ for every fixed c > 0, answering a question of Erdős and Hall.

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