弱非齐次Duffin–Schaeffer猜想
The Weak Inhomogeneous Duffin–Schaeffer Conjecture
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具体内容
该稿件研究非齐次丢番图逼近中的Duffin–Schaeffer型猜想。作者声称证明弱非齐次Duffin–Schaeffer猜想：对每个固定实数γ和有限值函数ψ:N→[0,∞)，若∑φ(q)ψ(q)/q发散，则对几乎每个x，不等式‖qx−γ‖<ψ(q)对无穷多个q成立；其中φ为Euler示性函数，‖·‖为到最近整数距离。摘要强调分子不必既约，平移γ不受丢番图限制。意义在于把经典猜想推广到带任意平移的非齐次情形，但结果尚未经独立审查。
- 作者声称证明弱非齐次Duffin–Schaeffer猜想，平移γ为任意固定实数。
- 发散条件为∑φ(q)ψ(q)/q，结论是对几乎每个x有无穷多q满足逼近不等式。
- 摘要强调分子不需既约，且对平移不加丢番图限制。
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英文原始摘要
We prove the weak inhomogeneous Duffin–Schaeffer conjecture. For every fixed γ ∈ ℝ and finite-valued $`\psi:\mathbb N\to[0,\infty)`$, divergence of $`\sum_{q\ge1}\phi(q)\psi(q)/q`$ implies $`\|qx-\gamma\|\lt \psi(q)`$ for infinitely many q, for almost every x. Here ϕ is Euler's totient and $`\|\cdot\|`$ is distance to the nearest integer. Numerators need not be reduced, and the shift satisfies no Diophantine restriction.
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原文来源