单相Bernoulli极小元的临界维数
The critical dimension for one-phase Bernoulli minimizers
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具体内容
稿件研究单相Bernoulli问题的临界维数。作者声称七是临界维数：维数至多六时，每个非零一阶齐次全局极小元是平坦的；维数七存在非平坦一阶齐次全局极小元。由此，局部极小元内部自由边界在维数至多六时光滑；n≥7时奇异集Hausdorff维数至多n-7且界是 sharp 的；维数七奇异集局部有限。摘要未展开证明，结果尚待独立审查。
- 作者声称七是单相Bernoulli问题的临界维数
- 维数≤6时非零一阶齐次全局极小元平坦，维数7存在非平坦例子
- n≥7时奇异集Hausdorff维数至多n-7且 sharp；维数7奇异集局部有限
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英文原始摘要
We prove that seven is the critical dimension for the one-phase Bernoulli problem: every nonzero one-homogeneous global minimizer in dimensions at most six is flat, while a nonflat one-homogeneous global minimizer exists in dimension seven. It follows that the interior free boundary of a local minimizer is smooth in dimensions at most six. In dimension n ≥ 7, its singular set has Hausdorff dimension at most $`n-7`$, and this bound is sharp. In dimension seven, the singular set is locally finite.
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原文来源