四次多项式的无平方值与多项式的无幂值

四次多项式的无平方值与多项式的无幂值

Squarefree values of quartics and power-free values of polynomials

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具体内容

稿件研究整系数多项式的无平方值与无幂值分布。作者声称证明：每个无固定素数平方除子的不可约整系数四次多项式取无平方值，且具有预测的正Euler乘积密度；更一般地，在次数 4≤d≤8 得到相应的 (d-2)-无幂密度。摘要表示证明结合数域分解、带自适应辅助素数的行列式估计与显式低次几何；与Browning关于更高次数的定理合起来，对每个 d≥4 给出 (d-2)-无幂密度。

• 不可约四次多项式在无固定平方除子时取无平方值并具预测密度
• 在 4≤d≤8 得到 (d-2)-无幂密度
• 与Browning定理合起来覆盖每个 d≥4

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英文原始摘要

We prove that every irreducible integer quartic with no fixed prime-square divisor takes squarefree values with the predicted positive Euler-product density. More generally, we obtain the corresponding $`(d-2)`$-power-free density in degrees $`4\le d\le8`$. The proof combines number-field factorization, determinant estimates with adaptive auxiliary primes, and explicit low-degree geometry. Together with Browning's theorem for higher degrees, this gives the $`(d-2)`$-power-free density for every d ≥ 4.

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