整数次调和维数比较的一个反例
A counterexample to integer-degree harmonic dimension comparison
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具体内容
该稿件研究 Yau 的调和函数维数比较问题在整数次数下的形式。作者声称对某些偶数 n ≥ 8 与整数 k ≥ 2，构造了 ℝⁿ 上完备光滑、Ricci 曲率非负的度量，使其点态多项式增长不超过 k 的实调和函数空间维数大于欧氏调和多项式维数。摘要还称该度量在原点附近为欧氏、渐近体积比严格介于 0 与 1 之间，且无穷远处切锥不唯一，从而对整数次形式给出否定回答。
- 构造 Ricci 非负的完备光滑度量，使低次多项式增长调和函数空间维数超过欧氏情形。
- 该度量在原点附近为欧氏，渐近体积比严格介于 0 与 1 之间。
- 摘要称无穷远处切锥不唯一，并据此否定整数次维数比较。
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英文原始摘要
For some even n ≥ 8 and integer k ≥ 2, we construct a complete smooth metric on ℝn with nonnegative Ricci curvature whose space of real harmonic functions of pointwise polynomial growth at most k has dimension larger than the Euclidean harmonic-polynomial dimension. The metric is Euclidean near the origin, has asymptotic volume ratio strictly between zero and one, and has nonunique tangent cones at infinity. This answers the integer-degree form of Yau's dimension comparison question in the negative.
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原文来源