整次调和维数比较的一个三维反例
A Three-Dimensional Counterexample to Integer-Degree Harmonic Dimension Comparison
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具体内容
稿件声称：对每个4/9<v<1与1<c<9v/4，所有充分大的整数k都存在ℝ3上的完备光滑度量，Ricci曲率非负、渐近体积比为v，且至少有c(k+1)^2个线性无关、逐点增长不超过k的实调和函数。作者据此在三维对Yau的整次维数比较问题给出否定回答，并指出相对欧氏计数的固定倍数超出；对1<c<9/4，度量可在全局双Lipschitz距离下任意接近欧氏度量，且可依赖于k。
- 构造Ricci非负、渐近体积比v的三维完备光滑度量
- 调和函数数量至少c(k+1)^2，超过欧氏计数固定倍数
- 对1<c<9/4可在双Lipschitz距离下任意接近欧氏度量
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英文原始摘要
For every $`4/9\lt v\lt 1`$ and $`1\lt c\lt 9v/4`$, all sufficiently large integers k admit a complete smooth metric on ℝ3 with nonnegative Ricci curvature, asymptotic volume ratio v, and at least $`c(k+1)^2`$ linearly independent real harmonic functions of pointwise growth at most k. This answers Yau's integer-degree dimension comparison question negatively in dimension three, with a fixed-factor excess over the Euclidean count. For each $`1\lt c\lt 9/4`$, these metrics can be chosen arbitrarily close to the Euclidean metric in global bi-Lipschitz distance. The metric may depend on k.
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