素数自变量处多项式差的幂节省

素数自变量处多项式差的幂节省

A Power Saving for Polynomial Differences at Prime Arguments

OpenAI 数学仓库收录的研究手稿。展开查看英文摘要，或标记后让我进一步解释。

具体内容

稿件研究整数集合在差集避开素数处多项式取值时的规模上界。摘要表示，设h为次数至少为二、首项系数为正且对每个正整数都有单位根的固定整数多项式；作者证明，若集合A⊆{1,…,N}的差避开所有素数p处的非零值h(p)，则|A|≤C_h N^{1-c_h}，其中c_h>0、C_h≥1仅依赖h。作者称即使多项式自变量限制在素数上，局部单位根条件仍给出固定幂节省。证明使用配套的Dirichlet L函数无零点半平面定理获得素数分布估计。手稿尚未经独立审查或同行评议。

• 研究差集避开素数处多项式取值的集合规模上界。
• 在局部单位根条件下得到固定幂节省N^{1-c_h}。
• 证明依赖配套的Dirichlet L函数无零点半平面定理。

AI 产生的研究手稿；收录不表示已完成独立审查或同行评议。

英文原始摘要

Let h be a fixed integer polynomial of degree at least two with positive leading coefficient, having a unit root modulo every positive integer. We prove that any set $`A\subseteq\{1,\ldots,N\}`$ whose differences avoid all nonzero values $`h(p)`$ at primes satisfies $`|A|\le C_hN^{1-c_h}`$, where $`c_h\gt 0`$ and $`C_h\ge1`$ depend only on h. Thus the local unit-root condition gives a fixed power saving even when polynomial arguments are restricted to primes. The proof uses the companion zero-free half-plane theorem for Dirichlet L-functions to obtain the required prime-distribution estimates.

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