加权膨胀图、光滑移位素数与欧拉函数纤维

加权膨胀图、光滑移位素数与欧拉函数纤维

Weighted dilation graphs, smooth shifted primes and totient fibers

OpenAI 数学仓库收录的研究手稿。展开查看英文摘要，或标记后让我进一步解释。

具体内容

稿件研究欧拉函数最大纤维与移位素数的光滑性。作者声称证明了Erdős关于欧拉函数最大纤维的猜想：对每个ε>0，存在无穷多个正整数n，其原像个数超过n^{1-ε}。作者还声称，对每个固定δ>0，在2x<p≤5x中至少有x^{1-o(1)}个素数p，其前驱没有超过x^δ的素因子。两项结果均属数论中乘法函数与素数分布的研究。

• 作者声称证明Erdős猜想：无穷多个n的欧拉函数原像数超过n^{1-ε}
• 对固定δ>0，2x<p≤5x中至少x^{1-o(1)}个素数的前驱无超过x^δ的素因子
• 研究涉及加权膨胀图与光滑移位素数

AI 产生的研究手稿；收录不表示已完成独立审查或同行评议。

英文原始摘要

We prove Erdős's conjecture on the largest fibers of Euler's totient function: for every ε > 0, infinitely many positive integers n have more than $`n^{1-\varepsilon }`$ preimages. We also show that, for every fixed δ > 0, there are at least $`x^{1-o(1)}`$ primes p in $`2x\lt p\le5x`$ whose predecessors have no prime factor exceeding xδ.

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